CASOS DE PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES




Objetivos:
  • Definir el concepto de producto notable.
  • Explicar y ejemplificar los cuatro tipos de productos notables.
        Los productos notables, son productos que cumplen ciertas reglas que facilitan la forma de como se deberían resolver comúnmente y su principal característica es que su resultado se conoce a simple vista, sin la necesidad de hacer la multiplicación.
        Existen cuatro productos notables.
1) El cuadrado de un binomio.
2) El cubo de un binomio.
3) Binomios conjugados.
4) Binomios con un término en común.
El cuadrado de un binomio.
a) Potencia de un monomio.
        Para poder elevar un monomio a una potencia, se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo:
-5= (-5) (-5) = 25
-x3 = (-x)(-x1)(-x1)= -x3
-5x2=(-5)(x)(x)=-5x2
(-5x)2=(-5x)(-5x)=25x2
(3x2)3=(3x2)(3x2)(3x2)=27x6
b) Potencia de un polinomio.
        Para elevar un polinomio a una potencia, se multiplica el polinomio por si mismo tantas veces lo indique el exponente.
        Ejemplo:
(3 + x)2 = (3 + x) (3 + x) = x2 + 6x +9
        Existe una regla especial cuando se trata de elevar un binomio al cuadrado y existen dos casos:
1. Cuando el binomio es una suma, se conoce comúnmente como "el cuadrado de la suma de dos números" y dice lo siguiente:
        El cuadrado de la suma de dos números es igual a:
  • El cuadrado del primer término.
  • Más el doble del producto del primer término por el segundo.
  • Más el cuadrado del segundo término.
        Ejemplos:
(x +3)2 = x2 +2(x)(3)+9 = x2+6x+9
a) El cuadrado del primer término
    x2=(x)(x)
b) Más el doble del producto del primer término por el segundo
    (2)(x)(3)=6x
c) Más el cuadrado del segundo término
    (3)2=(3)(3)=9
2. Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como "el cuadrado de la diferencia de dos números" y la regla dice:
  • El cuadrado del primer término
  • Menos el doble del producto del primer término por el segundo
  • Más el cuadrado del segundo.
        Ejemplo:
(x-3)2=x2–6x+9
a) El cuadrado del primer término    (x)2=(x)(x)=x2
b) El doble del producto del primer término por el segundo    2(x)(-3)=-6x
c) El cuadrado del segundo término   (-3)2=9
(no olvides utilizar la ley de los signos al realizar la potenciación de los números)
        Ejercicios:
        Realiza las siguientes potenciaciones; puedes comprobar tu resultado por medio de la multiplicación.
1) (2x-4)2
2) (5x2+3a)2
3) (a+b)2
4) (-7a2b–2b)2
        Solución:
1) 4x2-16x +16
2) 25x+30x2a+9a2
3) a2+2ab+b2
4) 49a4b2+28a2b2+4b2
El cubo de un binomio.
        Supongamos que tienes el binomio de forma (2x-5)3.
        Para resolver esta potencia lo puedes hacer recurriendo a la multiplicación o por producto notable.
        Por multiplicación se tendría lo siguiente.
(2x–5)3=(2x-5)(2x-5)(2x-5)
           
        Por producto notable se lleva a cabo la siguiente regla:
  • El cubo del primer término.
  • El triple del cuadrado del primer término por el segundo.
  • El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
  • El cubo del segundo término.
        En nuestro caso (2x–5)3=8x3-60x+150x-125
a) El cubo del primer término.    (2x)3=(2x)(2x)(2x)=8x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo.    3(2x)2(-5)=3(2x)(2x)(-5)=3(4x2)(-5)=-60x2
c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
    3(-5)2(2x)=3(-5)(-5)(2x)=3(25)(2x)=150x
d) El cubo del segundo término.
    (-5)3=(-5)(-5)(-5)=-125
        Ejemplo:
(2x2+3y2)3= 8x6+36x4y2+54x2y4+27y6
a) El cubo del primer término.
    (2x2)3=(2x2)(2x2)(2x2)=8x6
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo.    3(2x2)2(3 y2)=3(4x4)(3y2)=36x4y2
c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
    3(3y2)2(2x2)=3(9y4)(2x2)=54x2y4
d) El cubo del tercer término.
    (3y2)3=(3y2)(3y2)(3y2)=27y6
        Ejercicios:
        Realiza las operaciones con las reglas del producto notable.
1) (2m6–n8)3
2) (5x+2)3
3) (2a2b–bc2)3
4) (3x7+2x4)3
5) ( 4ab–c)3
        Solución:
1) 8m18–12m12n8+6m6n16–n24
2) 125x3+150x2+60x+8
3) 8a6b3–12a4b3c2+6a2b3c4–b3c6
4) 27x21+54 x18+36x15+8x12
5) 64a3b3–48a2b2c+12abc2–c3

2 comentarios:

  1. Anónimo3/6/13 15:32

    NO ENTENDI NI PIO

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  2. Anónimo3/6/13 17:48

    quiero q me resuelvan un problema

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